填空题
24.设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关列向量，且满足
Aα1=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3，则|A|=____________．
Aα1=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3，则|A|=____________．
- 1、
【正确答案】
1、一4
【答案解析】方法一 由题设条件
Aα=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3，
故
两边取行列式，得
因α1，α2，α3线性无关，所以|[α1，α2，α3]|≠0，又
故有
方法二 Aα1=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，
故 Aα2=A(α1+α2)一Aα1=α1—α2，
A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3，
Aα3=A(α1+α2+α3)-A(α1+α2)=α3一α1，
故 [Aα1，Aα2，Aα3]=A[α1，α2，α3]=[α1+2α2+α3，α1一α2，α3一α1]
两边取行列式，因|[α1，α2，α3]|≠0，则
或P=[α1，α2，α3]可逆，得
相似矩阵有相同的行列式，故
Aα=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3，
故
两边取行列式，得
因α1，α2，α3线性无关，所以|[α1，α2，α3]|≠0，又
故有
方法二 Aα1=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，
故 Aα2=A(α1+α2)一Aα1=α1—α2，
A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3，
Aα3=A(α1+α2+α3)-A(α1+α2)=α3一α1，
故 [Aα1，Aα2，Aα3]=A[α1，α2，α3]=[α1+2α2+α3，α1一α2，α3一α1]
两边取行列式，因|[α1，α2，α3]|≠0，则
或P=[α1，α2，α3]可逆，得
相似矩阵有相同的行列式，故