问答题
设f(x)在[a，b]上二次可微，且f(a)f(b)＜0，f"(x)＞0，f"(x)＞0，
x∈[a，b]．证明数列
x∈[a，b]．证明数列
【正确答案】
【答案解析】[证] 由已知条件f(x)=0在(a，b)内有唯一实根，记为c，f(c)=0，且a＜c＜b．
ⅰ)若x 1 ＞c，下证{x n }↓且以c为下界，事实上，
用数学归纳法可证{x n }↓，且x n ＞c．
ⅱ)若x 1 =c，则
，从而x
n
=c．
∴
证毕．
ⅲ)若x 1 ＜c，
这时由ⅰ)得{x n }↓(n≥2)，且以c为下界．
综上所述，
存在．设
ⅰ)若x 1 ＞c，下证{x n }↓且以c为下界，事实上，
用数学归纳法可证{x n }↓，且x n ＞c．
ⅱ)若x 1 =c，则
，从而x
n
=c．
∴
证毕．
ⅲ)若x 1 ＜c，
这时由ⅰ)得{x n }↓(n≥2)，且以c为下界．
综上所述，
存在．设