单选题
设f(x)在x=0处3阶可导，且f'(0)=0，f"(0)=0，f"'(x)＞0，则______．
A．x=0是f(x)的极小值点
B．x=0是f(x)的极大值点
C．在点(0，f(0))的左、右邻域曲线y=f(x)分别为凹与凸
D．在点(0，f(0))的左、右邻域曲线y=f(x)分别为凸与凹
A．x=0是f(x)的极小值点
B．x=0是f(x)的极大值点
C．在点(0，f(0))的左、右邻域曲线y=f(x)分别为凹与凸
D．在点(0，f(0))的左、右邻域曲线y=f(x)分别为凸与凹
【正确答案】
D
【答案解析】[解析] 利用泰勒展开式及相关概念的定义判别之．
解一 由泰勒公式及题设得到
故当|x|充分小且x＜0时，f(x)-f(0)＜0；当x＞0时，f(x)-f(0)＞0．因而f(0)不是极值，排除A、B．
又将f"(x)按皮亚诺余项展开，有
f"(x)=f"(0)+f"'(0)x+o(x)=f"'(0)x+o(x)．
当|x|充分小且x＜0时，f"(x)＜0(因f"'(0)＞0)，故曲线y=f(x)在点(0，f(0))的左侧邻域为凸．
当x＞0时，因f"'(0)＞0，故f"(x)＞0，则曲线y=f(x)在点(0，f(0))的右侧邻域为凹．仅D入选．
解二 利用
解一 由泰勒公式及题设得到
故当|x|充分小且x＜0时，f(x)-f(0)＜0；当x＞0时，f(x)-f(0)＞0．因而f(0)不是极值，排除A、B．
又将f"(x)按皮亚诺余项展开，有
f"(x)=f"(0)+f"'(0)x+o(x)=f"'(0)x+o(x)．
当|x|充分小且x＜0时，f"(x)＜0(因f"'(0)＞0)，故曲线y=f(x)在点(0，f(0))的左侧邻域为凸．
当x＞0时，因f"'(0)＞0，故f"(x)＞0，则曲线y=f(x)在点(0，f(0))的右侧邻域为凹．仅D入选．
解二 利用