解答题
1.设奇函数f（x）在[—1，1]上具有二阶导数，且f（1）=1，证明：
（Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f'（ξ）=1；
（Ⅱ）存在η∈（—1，1），使得f"（η）+f'（η）=1。
（Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f'（ξ）=1；
（Ⅱ）存在η∈（—1，1），使得f"（η）+f'（η）=1。
【正确答案】（Ⅰ）令F（x）=f（x）—x，F（0）=f（0）=0，F（1）=f（1）—1=0，
则由罗尔定理知，存在ξ∈（0，1）使得F'（ξ）=0，即f'（ξ）=1。
（Ⅱ）令G（x）=ex[f'（x）—1]，由（Ⅰ）知，存在ξ∈（0，1），使G（ξ）=0，又因为f（x）为奇函数．故f'（x）为偶函数，知G（—ξ）=0，则存在η∈（一ξ，ξ）
则由罗尔定理知，存在ξ∈（0，1）使得F'（ξ）=0，即f'（ξ）=1。
（Ⅱ）令G（x）=ex[f'（x）—1]，由（Ⅰ）知，存在ξ∈（0，1），使G（ξ）=0，又因为f（x）为奇函数．故f'（x）为偶函数，知G（—ξ）=0，则存在η∈（一ξ，ξ）
【答案解析】