问答题
设向量α=[a
1
，a
2
，…，a
2
]
T
，β=[b
1
，b
2
，…，b
n
]
T
都是非零向量，且满足条件α
T
β=0，记n阶矩阵A=αβ
T
，求：
问答题
A
2
；
【正确答案】正确答案：由A=αβ
T
和α
T
β=0，有 A
2
=AA=(αβ
T
)(αβ
T
)=α(β
T
α)β
T
=(β
T
α)αβ
T
=(α
T
β)
T
αβ
T
=0， 即A是n阶幂零矩阵(A
2
=0)．
【答案解析】
问答题
A的特征值和特征向量；
【正确答案】正确答案：直接用特征值的定义． Aξ=αβ
T
ξ=λξ， 由①式若β
T
ξ=0，则λξ=0，又ξ≠0，得λ=0． 若β
T
ξ≠0，①式两端左边乘β
T
，得 β
T
αβ
T
ξ=(β
T
α)β
T
ξ=(α
T
β)
T
(β
T
ξ)=0.(β
T
ξ)=λβ
T
ξ，得λ=0， 故A的全部特征值为0．
【答案解析】
问答题
A能否相似于对角矩阵，说明理由．
【正确答案】正确答案：A不能相似于对角矩阵，因α≠0，β≠0，故A=αβ
T
≠0，r(A)=r≠0(其实r(A)=1)．从而对应于特征值λ=0(n重)的线性无关的特征向量的个数是n－r≠n个，故A不能相似对角化．