问答题
设α
1
，α
2
与β
1
，β
2
为三维列向量组，且α
1
，α
2
与β
1
，β
2
都线性无关．
问答题
证明：至少存在一个非零向量可同时由α
1
，α
2
和β
1
，β
2
线性表示；
【正确答案】
【答案解析】[解] 因为α
1
，α
2
，β
1
，β
2
为4个3维的向量，一定线性相关，于是存在一组不全为零的数k
1
，k
2
，l
1
，l
2
，使得
k 1 α 1 +k 2 α 2 +l 1 β 1 +l 2 β 2 =0，
即
k 1 α 1 +k 2 α 2 =-l 1 β 1 -l 2 β 2 ，
令γ=k 1 α 1 +k 2 α 2 =-l 1 β 1 -l 2 β 2 ，因α 1 ，α 2 与β 1 ，β 2 都性无关，所以k 1 ，k 2 与l 1 ，l 2 都不全为零，所以γ≠0.
k 1 α 1 +k 2 α 2 +l 1 β 1 +l 2 β 2 =0，
即
k 1 α 1 +k 2 α 2 =-l 1 β 1 -l 2 β 2 ，
令γ=k 1 α 1 +k 2 α 2 =-l 1 β 1 -l 2 β 2 ，因α 1 ，α 2 与β 1 ，β 2 都性无关，所以k 1 ，k 2 与l 1 ，l 2 都不全为零，所以γ≠0.
问答题
设
【正确答案】
【答案解析】[解] 令k
1
α
1
+k
2
α
2
+l
1
β
1
+l
2
β
2
=0.
所以
所以，
所以
所以，