问答题
设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ，σ2)与N(μ，2σ2)，其中σ是未知参数且σ＞0．记Z=X-Y．
问答题
求Z的概率密度f(z，σ2)；
【正确答案】解 ∵X与Y独立，可见Z=X-Y服从正态分布，而EZ=E(X-Y)=EX-EY=μ-μ=0，
DZ=D(X-Y)=DX+DY=σ2+2σ2=3σ2
∴ Z～N(0，3σ2)
故[*]，-∞＜z＜+∞
DZ=D(X-Y)=DX+DY=σ2+2σ2=3σ2
∴ Z～N(0，3σ2)
故[*]，-∞＜z＜+∞
【答案解析】正态分布的概率密度要会默写，也建议写上自变量z的取值范围(即本题中的“-∞＜z＜+∞”；
问答题
设Z1，Z2，…，Zn为来自总体Z的简单随机样本，求σ2的最大似然估计量
【正确答案】似然函数为
[*]
∴[*]
令[*]，得[*]，故[*]
【答案解析】最大似然估计曾多次考过，
问答题
证明
【正确答案】由EZ=0，DZ=3σ2，∴E(Z2)=DZ+(EZ)2=3σ2
∴[*]
故[*]为σ2的无偏估计．
∴[*]
故[*]为σ2的无偏估计．
【答案解析】求E(Z2)记号中zi是Zi的观测值，也叫“样本值”，进行理论研究(如判无偏性，求[*])时应用大写的Zi．
问答题
设总体X的概率密度为
【正确答案】解 矩估计：[*]
做代换：[*]，得[*]，∴[*]，得[*]．
最大似然估计：似然函数为
[*]
[*]
当xi＞0，i=1，…，n时
lnL=2nlnθ-3ln(x1…xn)-[*]
[*]，令[*]，得[*]
故θ的最大似然估计量为[*]
做代换：[*]，得[*]，∴[*]，得[*]．
最大似然估计：似然函数为
[*]
[*]
当xi＞0，i=1，…，n时
lnL=2nlnθ-3ln(x1…xn)-[*]
[*]，令[*]，得[*]
故θ的最大似然估计量为[*]
【答案解析】