解答题
20.如图，已知△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=
，点P在AB边上，⊙P的半径为定长，当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N。
(1)求⊙P的半径；
(2)当AP=
时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由。
，点P在AB边上，⊙P的半径为定长，当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N。(1)求⊙P的半径；
(2)当AP=
时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由。
【正确答案】(1)如图，作BD⊥AC，垂足为点D，
∵当点P与点B重合时⊙P与边AC相切，
∴BD就是⊙P的半径，
在Rt△ABD中，tanA=
，
设BD=x，则AD=2x，
∴x2+(2x)2=152，解得x=
(舍)。
所以圆P的半径为
。
(2)相似，理由如下：
如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，
∴PH垂直平分MN，PM=PN，
在Rt△AHP中，tanA=
，
设PH=y，AH=2y，y2+(2y)2=(
)2，
解得y=6(取正数)，
∴PH=6，AH=12，
在Rt△MPH中，MH=
=3，
∴MN=2MH=6．
∴AM=AH一MH=12—3=9，NC=AC—MN—AM=20—6—9=5，
又∵PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM，
∴∠AMP=∠PNC，
∵当点P与点B重合时⊙P与边AC相切，
∴BD就是⊙P的半径，
在Rt△ABD中，tanA=
，设BD=x，则AD=2x，
∴x2+(2x)2=152，解得x=
(舍)。所以圆P的半径为
。(2)相似，理由如下：
如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，
∴PH垂直平分MN，PM=PN，
在Rt△AHP中，tanA=
，设PH=y，AH=2y，y2+(2y)2=(
)2，解得y=6(取正数)，
∴PH=6，AH=12，
在Rt△MPH中，MH=
=3，∴MN=2MH=6．
∴AM=AH一MH=12—3=9，NC=AC—MN—AM=20—6—9=5，
又∵PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM，
∴∠AMP=∠PNC，
【答案解析】