【答案解析】[解析] 思路一：要证alnb-blna＜3e ⁴ (ab ² -a ² b)，即要证

构造辅助函数

则F(x)在[e ^-2 ，e ^-1 ]上连续，在(e ^-2 ，e ^-1 )内可导，应用拉格朗日中值定理，得

设 ，则有

即g(x)在(e ^-2 ，e ^-1 )内单调减小，从而g(t)＜g(e ^-2 )=3e ⁴ ．故

即
alnb-blna＜3e ⁴ (ab ² -a ² b)．
思路二：要证alnb-blna＜3e ⁴ (ab ² -a ² b)，即证

设 ，则

当e ^-2 ＜x＜e ^-1 时，φ"(x)＜0，所以在区间(e ^-2 ，e ^-1 )内φ"(x)单调减小，则有
φ"(x)＜φ"(e ^-2 )=3e ⁴ -3e ⁴ =0，
所以φ(x)在区间(e ^-2 ，e ^-1 )内单调减小．
又e ^-2 ＜a＜b＜e ^-1 ，所以φ(b)＜φ(a)，即