问答题
设
正交矩阵Q使Q
T
AQ为对角矩阵，若Q的第1列为
正交矩阵Q使Q
T
AQ为对角矩阵，若Q的第1列为
【正确答案】
【答案解析】解 由于
是正交矩阵Q的第1列，所以(1，2，1)
T
是矩阵A的一个特征向量．设其对应的特征值为λ
1
，于是有
即
解得a=-1，λ 1 =2．由此可知
其特征多项式
|λE-A|=(λ-2)(λ-5)(λ+4)．
A的特征值为λ 1 =2，λ 2 =5，λ 3 =-4．
当λ 2 =5时，解齐次方程组
得到属于λ 2 的一个特征向量ξ 2 =(1，-1，1) T ；
当λ 3 =-4时，解齐次方程组
得到属于λ 3 的一个特征向量ξ 3 =(=1，0，1) T ；
将ξ 2 ，ξ 3 单位化后分别作为Q的第2，3列，可得
并有
是正交矩阵Q的第1列，所以(1，2，1)
T
是矩阵A的一个特征向量．设其对应的特征值为λ
1
，于是有
即
解得a=-1，λ 1 =2．由此可知
其特征多项式
|λE-A|=(λ-2)(λ-5)(λ+4)．
A的特征值为λ 1 =2，λ 2 =5，λ 3 =-4．
当λ 2 =5时，解齐次方程组
得到属于λ 2 的一个特征向量ξ 2 =(1，-1，1) T ；
当λ 3 =-4时，解齐次方程组
得到属于λ 3 的一个特征向量ξ 3 =(=1，0，1) T ；
将ξ 2 ，ξ 3 单位化后分别作为Q的第2，3列，可得
并有