问答题
设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=
问答题
记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A-1；
【正确答案】[*]
因秩(A)=n，故A可逆，且[*]，从而(A-1)T=(AT)-1=A-1，故A-1也是实对称矩阵，因此二次型f(x)的矩阵为
[*]
因秩(A)=n，故A可逆，且[*]，从而(A-1)T=(AT)-1=A-1，故A-1也是实对称矩阵，因此二次型f(x)的矩阵为
[*]
【答案解析】
问答题
二次型g(X)=XTAX与f(x)的规范形是否相同?说明理由．
【正确答案】因为(A-1)TAA-1=(AT)-1E=A-1，所以A与A-1合同，于是g(X)与f(X)有相同的规范形．
【答案解析】
问答题
设A、B为同阶正定矩阵，且AB=BA，证明：AB为正定矩阵．
【正确答案】因A、B正定，有AT=A，BT=B，故(AB)T=BTAT=BA=AB，即AB也是对称矩阵．因A正定，由存在正定阵s，使A=S2，于是S-1(AB)S=S-1SSBS=SBS=STBS，由于B正定，故与B合同的矩阵STBS正定，故STBS的特征值全都大于零，而S-1(AB)S=STBS，说明AB与STBS相似，由于相似矩阵有相同的特征值，故AB的特征值(即STBS的特征值)全都大于零，因而对称阵AB正定．
【答案解析】