解答题
设四元齐次线性方程组(I)为
问答题
9.求方程组(I)的一个基础解系；
【正确答案】解一 由
得到方程组(l)的基础解系为β1=[5，－3，1，0]T，β2=[－3，2，0，1]T．
解二 对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，有
得到方程组(l)的基础解系为β1=[5，－3，1，0]T，β2=[－3，2，0，1]T．解二 对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，有
【答案解析】
问答题
10.当a为何值时，方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解．
【正确答案】解一 将方程组(Ⅱ)的通解c1α1+c2α2代入方程组(I)，为使c1α1+c2α2也是方程组(I)的解(从而是方程组(I)和方程组(Ⅱ)的公共解)，c1，c2应满足的条件为
－(a+1)c1=0， (a+1)(c1－c2)=0．
于是当a+1≠0时，必有c1与c2为零，此时没有非零公共解．
当a+1=0即a=-1时，c1，c2为任何不全为零的实数，c1α1+c2α2都是非零公共解，从而方程组(I)和方程组(Ⅱ)有非零公共解，它们是
c1α1+c2α2=c1[2，－1，1，1]T+c2[－1，2，4，7]T， c1，c2不全为零．
解二 设方程组(I)与(Ⅱ)的公共解为η，则有数k1，k2，k3，k4，使得
η=k1β1+k2β2=k3α1+k4α2． ①
由此得方程组
对方程组(Ⅲ)的系数矩阵作初等行变换，得到
－(a+1)c1=0， (a+1)(c1－c2)=0．
于是当a+1≠0时，必有c1与c2为零，此时没有非零公共解．
当a+1=0即a=-1时，c1，c2为任何不全为零的实数，c1α1+c2α2都是非零公共解，从而方程组(I)和方程组(Ⅱ)有非零公共解，它们是
c1α1+c2α2=c1[2，－1，1，1]T+c2[－1，2，4，7]T， c1，c2不全为零．
解二 设方程组(I)与(Ⅱ)的公共解为η，则有数k1，k2，k3，k4，使得
η=k1β1+k2β2=k3α1+k4α2． ①
由此得方程组
对方程组(Ⅲ)的系数矩阵作初等行变换，得到
【答案解析】