填空题 设椭圆抛物面S的表达式为z=3x2+4y2+1．过原点O作S的切平面与S始终保持相切而运动，则切点Q在平面xOy上的投影曲线所围成的平面区域的面积为______．
【正确答案】
【答案解析】设切点的坐标为Q(x，y，z)．因为所以有 z=3x2+4y2+1． (*) 又因为向量与S在点Q处的法向量n=(6x，8y，-1)相互垂直，所以有 =(6x，8y，-1)·(x，y，z)=6x2+8y2-z=0．(**) 将式(*)与式(**)联立 故知Q(x，y，z)位于平面z=2上，所以切点Q的轨迹是平面z=2上的一条封闭曲线 因此Q在平面xOy上的投影曲线是一个椭圆，长半轴短半轴