问答题
设张三仅消费x和y两种商品，他的效用函数为U=L
0．75
x
0．06
y
0．09
)，其中L是张三每周的闲暇小时数。试求他最大化其效用函数时：
(1)他将选择每周工作多少小时?
(2)他将把收入的多大比例用于购买x?
(3)他消费x的需求价格弹性。
(4)如果他的收入下降30％，y的价格下降50％，他将过得更好还是更坏?(上海交通大学2007研)
【正确答案】正确答案：(1)假设用w表示工资率，用P
x
和P
y
分别表示商品x和y的价格，那么每周的总收入为(24×7-L)．w=168w-wL，此时张三的效用最大化问题为
构造拉格朗日辅助函数l=L
0．57
x
0．06
y
0．09
-λ(P
x
．x+P
y
．y+w．L-168w)。 由拉格朗定理得效用函数最大化的条件：
利用拉格朗日乘数法解得
因此，该工人每周工作的时间为168-L=168-133=35。 (2)该工人每周的总收入为(168-L)w=35w。 那么该消费者用于x商品的支出比例为P
x
x／35w=14w／35w=0．4。 即他购买x商品的比例占收入的40％。 (3)x商品需求函数为x=14w／P
x
，所以，消费x的需求价格弹性为
构造拉格朗日辅助函数l=L
0．57
x
0．06
y
0．09
-λ(P
x
．x+P
y
．y+w．L-168w)。 由拉格朗定理得效用函数最大化的条件：
利用拉格朗日乘数法解得
因此，该工人每周工作的时间为168-L=168-133=35。 (2)该工人每周的总收入为(168-L)w=35w。 那么该消费者用于x商品的支出比例为P
x
x／35w=14w／35w=0．4。 即他购买x商品的比例占收入的40％。 (3)x商品需求函数为x=14w／P
x
，所以，消费x的需求价格弹性为
【答案解析】