问答题
设n阶矩阵
问答题
求A的特征值和特征向量；
【正确答案】
【答案解析】①当b≠0时，A的特征值为λ
1
=1+(n-1)b，λ
2
=…=λ
n
=1-b
对λ 1 =1+(n-1)b，A的属于λ 1 的全部特征向量为kξ 1 =k(1，1，1，…，1) T ．
对λ 2 =1-b，A的属于λ 2 的全部特征向量为k 2 ξ 2 +k 3 ξ 3 +…+k n ξ n
其中ξ 2 =(1，-1，0，…，0) T ，ξ 3 =(1，0，-1，…，0) T ，…，ξ n =(1，0，0，…，-1) T ．
②当b=0时，特征值为λ 1 =…=λ n =1，任意非零列向量均为特征向量．
对λ 1 =1+(n-1)b，A的属于λ 1 的全部特征向量为kξ 1 =k(1，1，1，…，1) T ．
对λ 2 =1-b，A的属于λ 2 的全部特征向量为k 2 ξ 2 +k 3 ξ 3 +…+k n ξ n
其中ξ 2 =(1，-1，0，…，0) T ，ξ 3 =(1，0，-1，…，0) T ，…，ξ n =(1，0，0，…，-1) T ．
②当b=0时，特征值为λ 1 =…=λ n =1，任意非零列向量均为特征向量．
问答题
求可逆矩阵P，使得P
-1
AP为对角矩阵．
【正确答案】
【答案解析】①当b≠0时，A有n个线性无关的特征向量，令P=(ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n
)，则
