问答题
在球面x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式
【正确答案】
【答案解析】【解】作拉格朗日函数
L(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x 2 +y 2 +z 2 -5R 2 )，并令
由前3式得
代入第4式得可疑点
因xyz
3
在有界闭集x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x≥0,y≥0，z≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f=lnxyz
3
在x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
也有最大值，而
唯一，故最大值为
又lnx+lny+3lnz≤
故x
2
y
2
z
6
≤27R
10
．
令x 2 =a，y 2 =b，z 2 =c，又知x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 ，则
L(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x 2 +y 2 +z 2 -5R 2 )，并令
由前3式得
代入第4式得可疑点
因xyz
3
在有界闭集x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x≥0,y≥0，z≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f=lnxyz
3
在x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
也有最大值，而
唯一，故最大值为
又lnx+lny+3lnz≤
故x
2
y
2
z
6
≤27R
10
．
令x 2 =a，y 2 =b，z 2 =c，又知x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 ，则