设三元二次型x
T
Ax=x
1
2
+ax
2
2
+x
3
2
+2x
1
x
2
-2x
2
x
3
-2ax
1
x
3
的正、负惯性指数都是1，(Ⅰ)求a的值，并用正交变换化二次型为标准形；(Ⅱ)如B=A
3
-5A+E，求二次型x
T
Bx的规范形．
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)二次型矩阵是A=
由于r(A)=p+q=2，所以｜A｜=-(a-1)
2
(a+2)=0． 若a=1，则r(A)=1不合题意，舍去．若a=-2，由特征多项式 ｜λE-A｜=
=λ(λ-3)(λ+3)， 得出A的特征值为±3与0．p=q=1合于所求．故a=-2． 当λ=3时，由(3E-A)x=0，得特征向量α
1
=(1，0，1)
T
； 当λ=-3时，由(-3E-A)x=0，得特征向量α
2
=(1，-2，-1)
T
； 当λ=0时，由(0E-A)x=0，得特征向量α
3
=(-1，-1，1)
T
． 由于特征值不同特征向量已正交，单位化得
由于r(A)=p+q=2，所以｜A｜=-(a-1)
2
(a+2)=0． 若a=1，则r(A)=1不合题意，舍去．若a=-2，由特征多项式 ｜λE-A｜=
=λ(λ-3)(λ+3)， 得出A的特征值为±3与0．p=q=1合于所求．故a=-2． 当λ=3时，由(3E-A)x=0，得特征向量α
1
=(1，0，1)
T
； 当λ=-3时，由(-3E-A)x=0，得特征向量α
2
=(1，-2，-1)
T
； 当λ=0时，由(0E-A)x=0，得特征向量α
3
=(-1，-1，1)
T
． 由于特征值不同特征向量已正交，单位化得
【答案解析】