设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0．
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2)证明：存在η∈[－a，a]，使a
3
fˊˊ(η)=3∫
－a
a
f(x)dx．
【正确答案】正确答案：(1)对任意x∈[－a，a] f(x)=f(0)+fˊ(0)x+
fˊˊ(ξ)x
2
=fˊ(0)x+
x
2
． (2)∫
－a
a
f(x)dx=∫
－a
a
fˊ(0)xdx+
∫
－a
a
fˊˊ(ξ)x
2
dx=
∫
－a
a
fˊˊ(ξ)x
2
dx， 因为fˊˊ(x)在[－a，a]上连续，由最值定理：m≤fˊˊ(x)≤M，x∈[－a，a]． mx
2
≤fˊˊ(ξ)x
2
≤Mx
2
，
ma
3
=m∫
－a
a
x
2
dx≤∫
－a
a
fˊˊ(ξ)x
2
dx≤M∫
－a
a
x
2
dx=
Ma
3
， m
∫
－a
a
fˊˊ(ξ)x
2
dx=∫
－a
a
f(x)dx≤
M， m≤
∫
－a
a
f(x)dx． 由介值定理，存在η[－a，a]，使得fˊˊ(η)=
fˊˊ(ξ)x
2
=fˊ(0)x+
x
2
． (2)∫
－a
a
f(x)dx=∫
－a
a
fˊ(0)xdx+
∫
－a
a
fˊˊ(ξ)x
2
dx=
∫
－a
a
fˊˊ(ξ)x
2
dx， 因为fˊˊ(x)在[－a，a]上连续，由最值定理：m≤fˊˊ(x)≤M，x∈[－a，a]． mx
2
≤fˊˊ(ξ)x
2
≤Mx
2
，
ma
3
=m∫
－a
a
x
2
dx≤∫
－a
a
fˊˊ(ξ)x
2
dx≤M∫
－a
a
x
2
dx=
Ma
3
， m
∫
－a
a
fˊˊ(ξ)x
2
dx=∫
－a
a
f(x)dx≤
M， m≤
∫
－a
a
f(x)dx． 由介值定理，存在η[－a，a]，使得fˊˊ(η)=
【答案解析】