问答题
设B是可逆矩阵，A和B同阶，且满足A
2
+AB+B
2
=O,证明A和A+B都是可逆矩阵，并求A
-1
和(A+B)
-1
．
【正确答案】正确答案：由题设：A
2
+AB+B
2
=O，得 A(A+B)=-B
2
． ① ①式两端右边乘(-B
2
)
-1
，得A(A+B)(-B
2
)
-1
=E，得A可逆，且 A
-1
=(A+B)(一B
2
)
-1
． ①式两端左边乘(一B
2
)
-1
，得(一B
2
)
-1
A(A+B)=E，得A+B可逆，且 (A+B)
-1
=(一B
2
)
-1
A．
【答案解析】