解答题 设向量α1,α2,…αn—1是n—1个线性无关的n维列向量,ξ1,ξ2是与α1,α2,…αn—1均正交的n维非零列向量。证明:
问答题 11.ξ1,ξ2线性相关;
【正确答案】令A=(α1,α1,…,αn—1)T,则A是(n一1)×n矩阵,且r(A)=n一1。由已知条件可知
αiTξj=0(i=1,2,…,n一1;j=1,2),
即 Aξj=0(j=1,2),
这说明ξ1,ξ2是齐次线性方程组Ax=0的两个解向量。但Ax=0的基础解系中所含向量的个数为n一r(A)=n一(n一1)=1,所以解向量ξ1,ξ2必定线性相关。
【答案解析】
问答题 12.α1,α2,…αn—1,ξ1线性无关。
【正确答案】设k1α1+k2α2+…+kn—1αn—1+k0ξ1=0,两边取转置得
k1α1T+k2α2T+…+kn—1αn—1T+k0ξ1T=0,
上式两端同时右乘ξ1,得
k1α1Tξ1+k2α2Tξ1+…+kn—1αn—1Tξ1+k0ξ1Tξ1=0,
注意到αiTξ1=0(i=1,2,…,n—1),所以k0ξ1Tξ1=0。由ξ1≠0可得ξ1Tξ1≠0,于是k0=0,从而有k1α1+k2α2+…+kn—1αn—1=0。又因为α1,α2,…,αn—1线性无关,所以k1=k2=…=kn—1=k0=0,故α1,α2,…,αn—1,ξ1线性无关。
【答案解析】