已知n阶矩阵A满足A
3
=E．
(1)证明A
2
-2A-3E可逆．
(2)证明A
2
+A+2E可逆．
【正确答案】正确答案：通过特征值来证明，矩阵可逆的充要条件是0不是它的特征值． 由于A
3
=E，A的特征值都满足λ
3
=1． (1)A
2
-2A-3E=(A-3E)(A+E)，3和-1都不满足λ
3
=1，因此都不是A的特征值．于是(A-3E)和(A+E)都可逆，从而A
2
-2A-3E可逆． (2)设A的全体特征值为λ
1
，λ
2
，…，λ
n
，则A
2
+A+2E的特征值λ
i
2
+λ
i
+2，i=1，2，…，n． 由于λ
i
3
=1，λ
i
或者为1，或者满足λ
i
2
+λ
i
+1=0．于是λ
i
2
+λ
i
+2或者为4，或者为1，总之都不是0．因此A
2
+A+2E可逆．
【答案解析】