【正确答案】 D

【答案解析】选项A是必要不充分条件．这是因为r(f)=p+q≤n，当q=0时，有r(f)=p≤n．此时有可能p＜n，故二次型x^TAx不一定是正定二次型．因此矩阵A不一定是正定矩阵．例如f(₁，x₂，x₃)=x₁²+5x₃²．选项B是充分不必要条件．
这是因为P^一1AP=E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的．
但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值全是1是不必要的．
选项C中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A=C^TC不能说A与E合同，也就没有A是正定矩阵的结论．例如显然矩阵不正定．关于选项D，由于A正定正定A^*正定