填空题
三阶常系数齐次线性微分方程
- 1、
【正确答案】
1、3ex+e-x+2xe-x
【答案解析】 题设方程对应的特征方程是λ3+λ2-λ-1=0，由此可得特征根为λ1=1，λ2=λ3=-1，故微分方程有三个线性无关的特解ex，e-x与xe-x，从而其通解为y=C1ex+C2e-x+C3xe-x，其中C1，C2，C3是三个任意常数．
由题设的初值可得
y(0)=C1+C2=4，
y'(0)=[C1ex-C2e-x+C3(1-x)e-x]|x=0=C1-C2+C3=4，
y"(0)=[C1ex+C2e-x+C3(x-2)e-x]|x=0=C1+C2-2C3=0．
于是C1=3，C2=1，C3=2．故所求特解是y*(x)=3ex+e-x+2xe-x．
由题设的初值可得
y(0)=C1+C2=4，
y'(0)=[C1ex-C2e-x+C3(1-x)e-x]|x=0=C1-C2+C3=4，
y"(0)=[C1ex+C2e-x+C3(x-2)e-x]|x=0=C1+C2-2C3=0．
于是C1=3，C2=1，C3=2．故所求特解是y*(x)=3ex+e-x+2xe-x．