解答题
已知A，B均是2×4矩阵，其中
Ax=0有基础解系α1=(1，1，2，1)T，α2=(0，-3，1，0)T；
Bx=0有基础解系β1=(1，3，0，2)T，β2=(1，2，1，α)T．
(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)若Ax=0和Bx=0有非零公共解，求参数a的值及非零公共解．
Ax=0有基础解系α1=(1，1，2，1)T，α2=(0，-3，1，0)T；
Bx=0有基础解系β1=(1，3，0，2)T，β2=(1，2，1，α)T．
(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)若Ax=0和Bx=0有非零公共解，求参数a的值及非零公共解．
【正确答案】
【答案解析】[解] (Ⅰ)记C=(α1，α2)，则有AC=A(α1，α2)=O，得CTAT=O，即AT的列向量(即A的行向量)是CTx=0的解向量．
解得CTx=0的基础解系为ξ1=(1，0，0，-1)T，ξ2=(-7，1，3，0)T．
故
其中k1，k2是任意非零常数
(Ⅱ)若Ax=0和Bx=0有非零公共解，则非零公共解既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出，设非零公共解为
η=x1α1+x2α2=x3β1+x4β2．
于是 x1α1+x2α2-x3β1-x4β2=0 (*)
对(α1，α2，-β1，-β2)作初等行变换，有
解得CTx=0的基础解系为ξ1=(1，0，0，-1)T，ξ2=(-7，1，3，0)T．
故
其中k1，k2是任意非零常数
(Ⅱ)若Ax=0和Bx=0有非零公共解，则非零公共解既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出，设非零公共解为
η=x1α1+x2α2=x3β1+x4β2．
于是 x1α1+x2α2-x3β1-x4β2=0 (*)
对(α1，α2，-β1，-β2)作初等行变换，有