利用变换y=f(e
x
)求微分方程y""-(2e
x
+1)y"+e
2x
y=e
3x
的通解．
【正确答案】正确答案：令t=e
x
，y=f(t)
y"=f"(t).e
x
=tf"(t)， y""=[tf"(t)]"
x
=e
x
f"(t)+tf""(t).e
x
=tf"(t)+t
2
f""(t)，代入方程得t
2
f""(t)+tf"(t)-(2t+1)tf"(t)+t
2
f(t)=t
3
，即f""(t)-2f"(t)+f(t)=t． 解得f(t)=(C+C
2
t)e
t
+t+2，所以y""-(2e
x
+1)y"+e
2x
y=e
3x
的通解为 y=(C
1
+C
2
e
x
)
y"=f"(t).e
x
=tf"(t)， y""=[tf"(t)]"
x
=e
x
f"(t)+tf""(t).e
x
=tf"(t)+t
2
f""(t)，代入方程得t
2
f""(t)+tf"(t)-(2t+1)tf"(t)+t
2
f(t)=t
3
，即f""(t)-2f"(t)+f(t)=t． 解得f(t)=(C+C
2
t)e
t
+t+2，所以y""-(2e
x
+1)y"+e
2x
y=e
3x
的通解为 y=(C
1
+C
2
e
x
)
【答案解析】