【正确答案】由(aE—A)(bE—A)=O，得｜aE—A｜．｜bE—A｜=0，则｜aE—A｜=0或者｜bE—A｜=0，又由(aE—A)(bE—A)=O，得r(aE—A)+r(bE—A)≤n．
同时r(aE—A)+r(bE—A)≥r[(aE—A)一(bE—A)]=r[(a一b)E]=n．
所以r(aE一A)+r(bE—A)=n．
(1)若｜aE—A｜≠0，则r(aE—A)=n，所以r(bE—A)=0，故A=bE．
(2)若｜bE一A｜≠0，则r(bE—A)=n，所以r(aE—A)=0，故A=aE．
(3)若｜aE—A｜=0且｜bE—A｜=0，则a，b都是矩阵A的特征值．
方程组(aE—A)X=0的基础解系含有n一r(aE—A)个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n—r(aE—A)个；
方程组(6E—A)X=0的基础解系含有n一r(bE一A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n一r(bE—A)个．
因为n一r(aE—A)+n一r(bE—A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．