问答题
(Ⅰ)设总体X的概率分布为
(其中，θ∈(0，1)是未知参数)．以Ni表示来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn中取值等于i的个数(i=1，2，3)，求常数a1，a2，a3，使得
| X | 1 | 2 | 3 |
| P | 1-θ | θ-θ2 | θ2 |
【正确答案】(Ⅰ)由于N1～B(n，1-θ)，N2～B(n，θ-θ2)，N3～B(n，θ2)，所以
EN1=n(1-θ)，EN2=n(θ-θ2)，EN3=nθ2.
因此，ET=E(a1N1+a2N2+a3N3)=a1EN1+a2EN2+a3EN3
=a1n(1-θ)+a2n(θ-θ2)+a3nθ2
=a1n+(-a1n+a2n)θ+(-a2n+a3n)θ2.
欲使T是θ的无偏估计量，必须ET=θ，即
a1n+(-a1n+a2n)θ+(-a2n+a3n)θ2=θ．
比较θ同次幂的系数得
[*]
(Ⅱ)由于[*]，所以EN2=75，[*]，因此由中心极限定理(具体的是棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)知
P(N2＞80)=1-P(N2≤80)
[*]
EN1=n(1-θ)，EN2=n(θ-θ2)，EN3=nθ2.
因此，ET=E(a1N1+a2N2+a3N3)=a1EN1+a2EN2+a3EN3
=a1n(1-θ)+a2n(θ-θ2)+a3nθ2
=a1n+(-a1n+a2n)θ+(-a2n+a3n)θ2.
欲使T是θ的无偏估计量，必须ET=θ，即
a1n+(-a1n+a2n)θ+(-a2n+a3n)θ2=θ．
比较θ同次幂的系数得
[*]
(Ⅱ)由于[*]，所以EN2=75，[*]，因此由中心极限定理(具体的是棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)知
P(N2＞80)=1-P(N2≤80)
[*]
【答案解析】本题的关键，是从总体X的概率分布，推出Ni(i=1，2，3)的各自分布，即N1～B(n，1-θ)，N2～B(n，θ-θ2)，N3～B(n，θ2).
顺便计算DT.
由于[*]，所以
[*]
顺便计算DT.
由于[*]，所以
[*]