解答题 A是3阶矩阵，有特征值λ1=λ2=2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，λ3=-2对应的特征向量是ξ3．
问答题   问ξ1+ξ2是否是A的特征向量?说明理由；
 
【正确答案】
【答案解析】[解]ξ1+ξ2仍是A的对应于λ1=λ2=2的特征向量．
   因已知Aξ1=2ξ1，Aξ2=2ξ2，故
   A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2=2ξ1+2ξ2=2(ξ1+ξ2)．
问答题   ξ2+ξ3是否是A的特征向量?说明理由；
 
【正确答案】
【答案解析】[解]ξ2+ξ3不是A的特征向量．假设是，设其对应的特征值为μ，则有
   A(ξ2+ξ3)=μ(ξ2+ξ3)，
   得2ξ2-2ξ3-μξ2-μξ3=(2-μ)ξ2-(2+μ)ξ3=0，
   因2-μ和2+μ不同时为零，故ξ2，ξ3线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾，故ξ2+ξ3不是A的特征向量．
问答题   证明：任意三维非零向量β都是A2的特征向量，并求对应的特征值．
 
【正确答案】
【答案解析】[证]因A有特征值λ1=λ2=2，λ3=-2，故A2有特征值μ1=μ2=μ3=4．对应的特征向量仍是ξ1，ξ2，ξ3，且ξ1，ξ2，ξ3线性无关．故存在可逆矩阵P=(ξ1，ξ2，ξ3)，使得
   P-1A2P=4E，A2=P(4E)P-1=4E，
   从而对任意的β≠0，有A2β=4Eβ=4β，故知任意非零向量β都是A2的对应于λ=4的特征向量．