解答题
20.设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，x＝1是f(x)的极值点且3∫01/3f(x)dx＝f(1/2)。证明：存在ξ∈(0，1)，使得f''(ξ)＝0。
【正确答案】由于x＝1是f(x)的极值点，所以f'(1)＝0。
因f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，所以由积分中值定理可知，存在η∈
，使得
3∫01/3f(x)dx＝3f(η)∫01/3dx＝f(η)，
即 f(η)＝f(1/2)。
又因f(x)在
上连续，在
内可导，
所以由罗尔定理可知，存在ζ∈
，使得
f'(ζ)＝0。
再由f'(x)在[ζ，1]上连续，在(ζ，1)内可导，且f'(ζ)＝f'(1)＝0可知，
存在ξ∈(ζ，1)
因f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，所以由积分中值定理可知，存在η∈
，使得3∫01/3f(x)dx＝3f(η)∫01/3dx＝f(η)，
即 f(η)＝f(1/2)。
又因f(x)在
上连续，在内可导，所以由罗尔定理可知，存在ζ∈
，使得f'(ζ)＝0。
再由f'(x)在[ζ，1]上连续，在(ζ，1)内可导，且f'(ζ)＝f'(1)＝0可知，
存在ξ∈(ζ，1)
【答案解析】