问答题
银行向个人或企业的贷款采用逐月计息偿还的方式，从贷款下一个月起，每月还款数为x(k)元，对于第k个月所欠的贷款银行收取贷款月利率α并计入下个月的欠款总数中。设在第k个月时欠银行的贷款数额为y(k)。
问答题
试列出关于欠款额y(k)的差分方程
【正确答案】
【答案解析】解 由题意，y(k)表示第k个月时欠银行的贷款数额，则y(k-1)表示第(k-1)个月时欠银行的贷款数额，分析题意可知，y(k)包括以下两个部分：
①第(k-1)个月的欠款y(k-1)；
②第(k-1)个月银行收取的贷款利息αy(k-1)。
但由于第k月有还款额x(k)，故可建立以下关系式：
y(k)=y(k-1)+αy(k-1)-x(k)
整理可得关于欠款额y(k)的差分方程为
y(k)-(1+α)y(k-1)=-x(k)
①第(k-1)个月的欠款y(k-1)；
②第(k-1)个月银行收取的贷款利息αy(k-1)。
但由于第k月有还款额x(k)，故可建立以下关系式：
y(k)=y(k-1)+αy(k-1)-x(k)
整理可得关于欠款额y(k)的差分方程为
y(k)-(1+α)y(k-1)=-x(k)
问答题
还贷方式一般有下列五种
(1)到期一次还本付息法。借款人在贷款期内，不是按月偿还本息，而是贷款到期后一次性归还全部本金和利息。这种方法一般适当于短期贷款。
(2)等额本息还款法。每月固定支付给银行固定数额，在指定的时间内还清。由于月还款额相同，简单又干脆，适用于在整个贷款期内家庭收入有稳定来源的贷户，如国家机关、科研、教学单位人员等。目前住房公积金贷款和多数银行的商业性个人住房贷款都采用了这种方式。
(3)等额本金还款法。就是借款人将贷款额平均分摊到整个还款期内每期(月)归还，同时付清上一次交易日至本次还款日间的贷款利息的一种还款方式。这种方式每月的偿还额逐渐减少，较适合于已经有一定的积蓄，但预期收入可能逐渐减少的借款人，如中老年职工家庭，其现有一定的积蓄，但今后随着退休临近收入将递减。
(4)等比累进还款法。就是将整个还款期按一定的时间段划分，每个时间段较上一时间段多还约定的固定比例，而每个时间段内每月须以相同的偿还额归还贷款本息的一种还款方式。这种方式适合于一些目前收入不高、但是预计以后收入会有大幅度上升的人，例如刚刚开始工作或创业的年轻人。
(5)等额累进还款法。其与“等比累进还款法”类似，不同之处就是将在每个时间段上约定多还款的“固定比例”改为“固定额度”，以同样在每个时间段内每月以相同的偿还额归还贷款本息的一种还款方式。这种方法的优点与等比累进法相同，在国外的年轻人中十分通行后两种消费信贷还款方式。
假设某人从银行贷款40万元，20年内偿还，月息0.42%。试计算五种还款方式下的还款计划(每月还款数目)公式。其中在等比累进还款法和等额累进还款法中，以五年为一个阶段，每个阶段还款数目比上一个阶段分别增加50%(等比累进还款法)或2000元(等额累进还款法)。
(1)到期一次还本付息法。借款人在贷款期内，不是按月偿还本息，而是贷款到期后一次性归还全部本金和利息。这种方法一般适当于短期贷款。
(2)等额本息还款法。每月固定支付给银行固定数额，在指定的时间内还清。由于月还款额相同，简单又干脆，适用于在整个贷款期内家庭收入有稳定来源的贷户，如国家机关、科研、教学单位人员等。目前住房公积金贷款和多数银行的商业性个人住房贷款都采用了这种方式。
(3)等额本金还款法。就是借款人将贷款额平均分摊到整个还款期内每期(月)归还，同时付清上一次交易日至本次还款日间的贷款利息的一种还款方式。这种方式每月的偿还额逐渐减少，较适合于已经有一定的积蓄，但预期收入可能逐渐减少的借款人，如中老年职工家庭，其现有一定的积蓄，但今后随着退休临近收入将递减。
(4)等比累进还款法。就是将整个还款期按一定的时间段划分，每个时间段较上一时间段多还约定的固定比例，而每个时间段内每月须以相同的偿还额归还贷款本息的一种还款方式。这种方式适合于一些目前收入不高、但是预计以后收入会有大幅度上升的人，例如刚刚开始工作或创业的年轻人。
(5)等额累进还款法。其与“等比累进还款法”类似，不同之处就是将在每个时间段上约定多还款的“固定比例”改为“固定额度”，以同样在每个时间段内每月以相同的偿还额归还贷款本息的一种还款方式。这种方法的优点与等比累进法相同，在国外的年轻人中十分通行后两种消费信贷还款方式。
假设某人从银行贷款40万元，20年内偿还，月息0.42%。试计算五种还款方式下的还款计划(每月还款数目)公式。其中在等比累进还款法和等额累进还款法中，以五年为一个阶段，每个阶段还款数目比上一个阶段分别增加50%(等比累进还款法)或2000元(等额累进还款法)。
【正确答案】
【答案解析】解 求五种还款方式下的还款计划公式。
(1)到期一次还本付息法。
此法是中途不还款，相当于没有x(k)，那么就是解齐次差分方程
y(k)-(1+α)y(k-1)=0
由y(0)=40万元，α=0.42%，可得
y(k)=40×(1.0042) k
20年即240个月，令k=240，可计算得到y(240)≈109.376万元，即到第240个月时，需一次性还109.376万元，亦即还款计划为
x(k)=109.376δ(k-240)(万元)
(2)等额本息还款法。
设每月还款数额为m元，考虑到第1个月才开始还款，故x(k)=mε(k-1)从而差分方程为
y(k)-(1+α)y(k-1)=-mε(k-1)
且有y(0)=400000
用逐次迭代的方法可得
(1)到期一次还本付息法。
此法是中途不还款，相当于没有x(k)，那么就是解齐次差分方程
y(k)-(1+α)y(k-1)=0
由y(0)=40万元，α=0.42%，可得
y(k)=40×(1.0042) k
x(k)=109.376δ(k-240)(万元)
(2)等额本息还款法。
设每月还款数额为m元，考虑到第1个月才开始还款，故x(k)=mε(k-1)从而差分方程为
y(k)-(1+α)y(k-1)=-mε(k-1)
且有y(0)=400000
用逐次迭代的方法可得