(1999年试题，五)设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y
"
(x)>0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S
1
,区间[0，x]上以y=y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S
2
，并设2S
1
一．S
2
恒为1，求曲线y=y(x)的方程．
【正确答案】正确答案：根据题设，建立相应的微分方程并求解．由已知，在曲线y=y(x)上点(x，y)处的切线方程为Y一y=y’(x)(X一x)，与x轴交点为
因为y(0)=1且y
"
(x)>0，则由函数导数符号与其单调性之间的关系知当x>0时，y(x)>0．又由题设，有
而已知2S
1
一S
2
=1，则
(1);(1)式对x求导，并化简得yy
""
=(y
"
)
2
(2)又由(1)式知y
"
(0)=1，从而曲线y(x)满足方程(2)及初始条件y(0)=y
"
(0)=1，令P=y
"
，则微分方程(2)化为
分离变量得
从而p=C
1
y，即
．再分离变量得
因为y(0)=1且y
"
(x)>0，则由函数导数符号与其单调性之间的关系知当x>0时，y(x)>0．又由题设，有
而已知2S
1
一S
2
=1，则
(1);(1)式对x求导，并化简得yy
""
=(y
"
)
2
(2)又由(1)式知y
"
(0)=1，从而曲线y(x)满足方程(2)及初始条件y(0)=y
"
(0)=1，令P=y
"
，则微分方程(2)化为
分离变量得
从而p=C
1
y，即
．再分离变量得
【答案解析】解析：本题综合考查了曲线的切线、曲边梯形的面积、变上限函数求导、二阶可降阶微分方程的解法等知识点，有一定的难度和计算量．