问答题
设半径为R的球体体密度μ=r
2
，求球体的质量．
(1)r是球内任一点到球心的距离；
(2)r是球内任一点到直径的距离；
(3)r是球内任一点到过球心的平面的距离．
(1)r是球内任一点到球心的距离；
(2)r是球内任一点到直径的距离；
(3)r是球内任一点到过球心的平面的距离．
【正确答案】
【答案解析】(1)如图(a)所示，选极坐标系，积分变量选择r，以极点O为中心，r为内径，厚度为dr的球壳体积为
dV=4πr 2 dr，
由于dr很小，球壳密度可看做均匀的，为μ=r 2 ，于是其质量
dM=4πr 2 dr·r 2 =4πr 4 dr，
故
(2)如图(b)所示，设x为积分变量，y为中心轴，以x为内径厚为dx的圆柱筒可看做图中阴影部分绕y轴旋转所得的形体，其体积为
故质量为
(3)如图(c)所示，选直角坐标系，以z为积分变量，图中所示为所论问题在yOz平面上的投影，球中从z到z+dz这部分球台的体积为dV=π(R 2 -z 2 )dz，由于dz很小，故该部分的密度可看做均匀的，为μ=z 2 ．于是其质量为dM=πz 2 (R 2 -z 2 )dz，故质量
dV=4πr 2 dr，
由于dr很小，球壳密度可看做均匀的，为μ=r 2 ，于是其质量
dM=4πr 2 dr·r 2 =4πr 4 dr，
故
(2)如图(b)所示，设x为积分变量，y为中心轴，以x为内径厚为dx的圆柱筒可看做图中阴影部分绕y轴旋转所得的形体，其体积为
故质量为
(3)如图(c)所示，选直角坐标系，以z为积分变量，图中所示为所论问题在yOz平面上的投影，球中从z到z+dz这部分球台的体积为dV=π(R 2 -z 2 )dz，由于dz很小，故该部分的密度可看做均匀的，为μ=z 2 ．于是其质量为dM=πz 2 (R 2 -z 2 )dz，故质量