解答题
1.已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3，秩(Ⅲ)=4．证明：向量组α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．
【正确答案】证一 转化为矩阵证明．设A=[α1，α2，α3，α5]，B=[α1，α2，α3，α5一α4]．注意α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，由命题2．3．1．1知，α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3，则
因而矩阵B与A等价，故秩(B)=秩(A)=4，即α1，α2，α3，α5一α4线性无关．
证二 利用两向量组等价必等秩的结论证之．因
因而矩阵B与A等价，故秩(B)=秩(A)=4，即α1，α2，α3，α5一α4线性无关．
证二 利用两向量组等价必等秩的结论证之．因
【答案解析】