解答题
假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域G={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布．记
问答题
9.U和V的联合分布；
【正确答案】解一 如图3．3．1．1所示，设二维随机变量(X，Y)在区域A，B，C中取值的事件依次记为A，B，C；S表示有关区域的面积．因(X，Y)在G上服从均匀分布，故
而 P(U=0，V=0)=P(X≤Y，X≤2Y)=P(A)=1／4，
P(U=0，V=1)=P(X≤Y，X＞2Y)=P(
)=0，
P(U=1，V=0)=P(X＞Y，X≤2Y)=P(B)=1／4，
P(U=1，V=1)=P(X＞Y，X＞2Y)=P(C)=1／2．
于是得到(U，V)的联合分布律为
解二 因(X，Y)在区域G上服从均匀分布，G的面积SG=2，故其概率密度函数为
因而 P(U=0，V=0)=P(X≤Y，X≤2Y)=P(A)=1／4，
P(U=0，V=1)=P(X≤Y，X＞2Y)=P(
而 P(U=0，V=0)=P(X≤Y，X≤2Y)=P(A)=1／4，
P(U=0，V=1)=P(X≤Y，X＞2Y)=P(
)=0，P(U=1，V=0)=P(X＞Y，X≤2Y)=P(B)=1／4，
P(U=1，V=1)=P(X＞Y，X＞2Y)=P(C)=1／2．
于是得到(U，V)的联合分布律为
解二 因(X，Y)在区域G上服从均匀分布，G的面积SG=2，故其概率密度函数为
因而 P(U=0，V=0)=P(X≤Y，X≤2Y)=P(A)=1／4，
P(U=0，V=1)=P(X≤Y，X＞2Y)=P(
【答案解析】
问答题
10.U和V的相关系数ρ．
【正确答案】解一 将(U，V)的联合分布律改写成下述同一表格的形式：
于是 E(U)=3／4， E(V)=1／2， E(UV)=1／2， E(U2)=3／4， E(V2)=1／2．
因而 D(U)=E(U2)－[E(U)]2=3／4－9／16=3／16，
D(V)=E(V2)－[E(V)]2=1／2－1／4=1／4，
cov(U，V)=E(UV)－E(U)E(V)=1／2－(3／4)(1／2)=1／8，
解二 由(U，V)的联合分布律及U、V的分布律，由命题3．3．1．3知，U服从参数为p1=3／4的0-1分布，故E(U)=p1=3／4，D(U)=p1(1－p1)=3／16；V服从参数为p2=1／2的0-1分布，故E(V)=p2=1／1 D(V)=p2(1－p2)=1／4．而
E(UV)=P(U=1，V=1)=1／2，
故
于是 E(U)=3／4， E(V)=1／2， E(UV)=1／2， E(U2)=3／4， E(V2)=1／2．
因而 D(U)=E(U2)－[E(U)]2=3／4－9／16=3／16，
D(V)=E(V2)－[E(V)]2=1／2－1／4=1／4，
cov(U，V)=E(UV)－E(U)E(V)=1／2－(3／4)(1／2)=1／8，
解二 由(U，V)的联合分布律及U、V的分布律，由命题3．3．1．3知，U服从参数为p1=3／4的0-1分布，故E(U)=p1=3／4，D(U)=p1(1－p1)=3／16；V服从参数为p2=1／2的0-1分布，故E(V)=p2=1／1 D(V)=p2(1－p2)=1／4．而
E(UV)=P(U=1，V=1)=1／2，
故
【答案解析】