解答题
4.已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1：ax+2by+3c=0
l2：ax+2cy+3a=0
l3：ax+2ay+3b=0
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
l1：ax+2by+3c=0
l2：ax+2cy+3a=0
l3：ax+2ay+3b=0
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
【正确答案】必要性 设三直线l1，l2，l3交于一点，则二元线性方程组
=3(a+b+c)[(a—b)2一(b—c)2+(c—a)2]
及 (a—b)2+(b—c)(c—a)2≠0，
(否则a=b=c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以a+b+c=0．
充分性 若a+b+c=0，则由必要性的证明知
，又系数矩阵A中有一个二阶于式
=3(a+b+c)[(a—b)2一(b—c)2+(c—a)2]
及 (a—b)2+(b—c)(c—a)2≠0，
(否则a=b=c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以a+b+c=0．
充分性 若a+b+c=0，则由必要性的证明知
，又系数矩阵A中有一个二阶于式【答案解析】本题在将几何问题转化为代数问题之后，证法1主要利用了非齐次线性方程组有惟一解的充要奈件，证法2主要利用了Cramer法则的结果．注意，由于平面直线的方程是二元一次方程，故本题实际上隐含了下述条件：a与b不同时为零，b与c不同时为零，c与a不同时为零，本题两种证法的充分性证明中都用到这些条件．