三元二次型f=X
T
AX经过正交变换化为标准形f=y
1
2
+y
2
2
－2y
3
2
，且A
*
+2E的非零特征值对应的特征向量为
【正确答案】正确答案：因为f=X
T
AX经过正交变换后的标准形为f=y
1
2
+y
2
2
－2y
3
2
，所以矩阵A的特征值为λ
1
λ
2
=1，λ
3
=－2．由｜A｜=λ
1
λ
2
λ
3
=－2得A
*
的特征值为μ
1
=μ
2
=－2，μ
3
=1，从而A
*
+2E的特征值为0，0，3，即α
1
为A
*
+2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ
3
=－2的特征向量． 令A的属于特征值λ
1
=λ
2
=1的特征向量为
因为A为实对称矩阵，所以有α
1
T
α=0，即x
1
+x
2
=0故矩阵A的属于λ
1
=λ
2
=1的特征向量为
令P=(α
2
，α
3
，α
1
)=
得
所求的二次型为 f=X
T
AX=
因为A为实对称矩阵，所以有α
1
T
α=0，即x
1
+x
2
=0故矩阵A的属于λ
1
=λ
2
=1的特征向量为
令P=(α
2
，α
3
，α
1
)=
得
所求的二次型为 f=X
T
AX=
【答案解析】