问答题
(本题满分10分)
已知两个向量组(Ⅰ)：α 1 =(1，2，3) T ，α 2 =(1，0，1) T 与(Ⅱ)β 1 (-1，2，k) T ，β 2 =(4，1，5) T ，试问k取何值时(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?并写出等价时(Ⅰ)与(Ⅱ)相互表出的线性表示式．
已知两个向量组(Ⅰ)：α 1 =(1，2，3) T ，α 2 =(1，0，1) T 与(Ⅱ)β 1 (-1，2，k) T ，β 2 =(4，1，5) T ，试问k取何值时(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?并写出等价时(Ⅰ)与(Ⅱ)相互表出的线性表示式．
【正确答案】
【答案解析】解 对矩阵(α
1
，α
2
，β
1
，β
2
)作初等行变换，得
可见k=1时，β 1 ，β 2 均可由α 1 ，α 2 线性表示，此时由
得
当k=1时，对矩阵(β 1 ，β 2 ，α 1 ，α 2 )作初等行变换，得
可见α 1 ，α 2 均可由β 1 ，β 2 线性表示，因此k=1时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．由
得
可见k=1时，β 1 ，β 2 均可由α 1 ，α 2 线性表示，此时由
得
当k=1时，对矩阵(β 1 ，β 2 ，α 1 ，α 2 )作初等行变换，得
可见α 1 ，α 2 均可由β 1 ，β 2 线性表示，因此k=1时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．由
得