【正确答案】 D

【答案解析】解一 令由

知，A的特征值λ₁=3，λ₂=－1，即A的正、负惯性指数都为1，于是|A|=λ₁λ₂＜0，但|A₁|＞0，|A₂|0，|A₃|＞0，可见(A)、(B)、(C)中矩阵的正、负惯性指数与A的都不同，因而A₁，A₂，A₃与A都不合同．仅(D)入选．
解二 因故A与A₄的特征值相同且其重数也相同，故A与A₄相似．又A与A₄为同阶实对称矩阵，由命题2．6．4．2知，A与A₄必合同．仅(D)入选．
解三 由两个矩阵A，B合同的定义知，存在可逆矩阵C，使B=C^TAC，则
|B|=|A||C^T||C|=|A||C|²，
因|C|²>0，故A与B合同必有|A|与|B|同号．由解一知，
|A|＜0， |A₁|＞0， |A₂|＞0， |A₃|＞0，
而|A₄|＜0，故|A|与|A₄|同号，由命题2．6．4．4(2)知，A与A₄合同，仅(D)入选．
解四 用合同变换判别之．因

由命题2．6．4．3知，A与A₄合同，且有P^TAP=A₄，其中事实上，有