求正交变换化二次型 2x
3
2
-2x
1
x
2
+2x
1
x
3
-2x
2
x
3
为标准形，并写出所用正交变换．
【正确答案】正确答案：二次型矩阵是A=
由特征多项式 ｜λE-A｜=
=(λ+1)(λ
2
-3λ)， 得到A的特征值是3，-1，0． 对λ=3，由(3E-A)x=0，即
，解得α
1
=(1，-1，2)
T
． 类似地，对λ=-1，α
2
=(1，1，0)
T
； λ=0时，α
3
=(-1，1，1)
T
．特征值无重根，仅需单位化：
由特征多项式 ｜λE-A｜=
=(λ+1)(λ
2
-3λ)， 得到A的特征值是3，-1，0． 对λ=3，由(3E-A)x=0，即
，解得α
1
=(1，-1，2)
T
． 类似地，对λ=-1，α
2
=(1，1，0)
T
； λ=0时，α
3
=(-1，1，1)
T
．特征值无重根，仅需单位化：
【答案解析】