解答题
(Ⅰ)设0＜x＜+∞，证明存在η，0＜η＜1，使
【正确答案】
【答案解析】(Ⅰ)[证] 令
由拉格朗日中值定理有
f(x+1)-f(x)=f'(ξ)(x+1-x)，
即
其中x＜ξ＜x+1，ξ=x+η，0＜η＜1．
(Ⅱ)[解] 由(Ⅰ)有
两边平方，得
所以η(x)在区间(0，+∞)内严格单调增加．又
所以η(x)的值域为
由拉格朗日中值定理有f(x+1)-f(x)=f'(ξ)(x+1-x)，
即
其中x＜ξ＜x+1，ξ=x+η，0＜η＜1．
(Ⅱ)[解] 由(Ⅰ)有
两边平方，得
所以η(x)在区间(0，+∞)内严格单调增加．又
所以η(x)的值域为