解答题
20.[2009年] (I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(B)-f(A)=f'(ξ)(b-a)．
(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，ξ)(δ＞0)内可导，且
(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，ξ)(δ＞0)内可导，且
【正确答案】(I)设想曲线f(x)与直线AB除交于A，B两点外，还交于原点(f(0)=0)，则可构造辅助函数
，则
由罗尔定理知，
在(a，b)内至少存在一点ξ，使F'(ξ)=0，即
亦即f(B)-f(A)=f'(ξ)(b-a)．
(Ⅱ)任取x∈(0，δ)，在[0，x]上由拉格朗日中值定理得到，存在ξ∈(0，x)，使得
当x→0+时，ξ→0+．由右导数定义，有
，则由罗尔定理知，在(a，b)内至少存在一点ξ，使F'(ξ)=0，即
亦即f(B)-f(A)=f'(ξ)(b-a)．(Ⅱ)任取x∈(0，δ)，在[0，x]上由拉格朗日中值定理得到，存在ξ∈(0，x)，使得
当x→0+时，ξ→0+．由右导数定义，有
【答案解析】