解答题
设向量组α1，α2，α3为3维向量空间R3的一个基，令β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=2α1+(k+1)α3．
问答题
31.证明向量组β1，β2，β3也是R3的一个基；
【正确答案】由于
而
而
【答案解析】本题考查向量空间和线性方程组的综合题．解题所用的主要知识点有向量空间基与基变换公式及向量坐标的概念；向量组线性相关性的判定：n个n维向量线性无关
由它们排成的n阶行列式不为零；n元齐次线性方程组有非零解
由它们排成的n阶行列式不为零；n元齐次线性方程组有非零解
问答题
32.当k为何值时，存在非零向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同，并求出所有的ξ．
【正确答案】设
，则P为从基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵．又设ξ在基α1，α2，α3下的坐标为x=(x1，x2，x3)T，则ξ在基β1，β2，β3下的坐标为P-1x．由已知有x=P-1x，从而px=x．即(P-E)x=0．
又由于ξ≠0，所以其坐标向量x≠0，即齐次线性方程组(P-E)x=0应有非零解，于是
，因此当k=0时，齐次线性方程组的非零解为
，则P为从基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵．又设ξ在基α1，α2，α3下的坐标为x=(x1，x2，x3)T，则ξ在基β1，β2，β3下的坐标为P-1x．由已知有x=P-1x，从而px=x．即(P-E)x=0．又由于ξ≠0，所以其坐标向量x≠0，即齐次线性方程组(P-E)x=0应有非零解，于是
，因此当k=0时，齐次线性方程组的非零解为【答案解析】