问答题
求函数z=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．
【正确答案】正确答案：区域D如图8．1所示，它是有界闭区域．z(x，y)在D上连续，所以在D上一定有最大值与最小值，它或在D内的驻点达到，或在D的边界上达到． 为求D内驻点，先求
=2xy(4一x一y)一x
2
y=xy(8—3x一2y)，
=x
2
(4一x一y)一x
2
y=x
2
(4一x一2y)． 再解方程组
得z(x，y)在D内的唯一驻点(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4．
在D的边界y=0，0≤x≤6或x=0，0≤y≤6上z(x，y)=0； 在边界x+y=6(0≤x≤6)上将y=6一x代入得z(x，y)=x
2
(6一x)(一2)=2(x
3
一6x
2
)，0≤x≤6．令h(x)=2(x
3
一6x
2
)，则h'(x)=6(x
2
—4x)，h'(4)=0，h(0)=0，h(4)=一64，h(6)=0，即=(x，y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0，最小值为一64． 因此，
=2xy(4一x一y)一x
2
y=xy(8—3x一2y)，
=x
2
(4一x一y)一x
2
y=x
2
(4一x一2y)． 再解方程组
得z(x，y)在D内的唯一驻点(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4．
在D的边界y=0，0≤x≤6或x=0，0≤y≤6上z(x，y)=0； 在边界x+y=6(0≤x≤6)上将y=6一x代入得z(x，y)=x
2
(6一x)(一2)=2(x
3
一6x
2
)，0≤x≤6．令h(x)=2(x
3
一6x
2
)，则h'(x)=6(x
2
—4x)，h'(4)=0，h(0)=0，h(4)=一64，h(6)=0，即=(x，y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0，最小值为一64． 因此，
【答案解析】