问答题
求平面P的方程，已知P与曲面z=x
2
+y
2
相切，并且经过直线L：
【正确答案】
【答案解析】解 经过直线
的平面束方程为6y+z+1+λ(x-5y-z-3)=0，
即λx+(6-5λ)y+(1-λ)z+1-3λ=0．
它与曲面z=x 2 +y 2 相切，设切点为M(x 0 ，y 0 ，z 0 )．于是该曲面在点M处的法向量为n=(2x 0 ，2y 0 ，-1)．从而
此外，点M(x 0 ，y 0 ，z 0 )还应满足
及λx 0 +(65λ)y 0 +(1-λ)z 0 +1-3λ=0．
(***)
将(*)，(**)，(***)联立，解得
λ=2，(x 0 ，y 0 ，z 0 )=(1，-2，5)，或
的平面束方程为6y+z+1+λ(x-5y-z-3)=0，
即λx+(6-5λ)y+(1-λ)z+1-3λ=0．
它与曲面z=x 2 +y 2 相切，设切点为M(x 0 ，y 0 ，z 0 )．于是该曲面在点M处的法向量为n=(2x 0 ，2y 0 ，-1)．从而
此外，点M(x 0 ，y 0 ，z 0 )还应满足
及λx 0 +(65λ)y 0 +(1-λ)z 0 +1-3λ=0．
(***)
将(*)，(**)，(***)联立，解得
λ=2，(x 0 ，y 0 ，z 0 )=(1，-2，5)，或