问答题
设a≠0为常数，f(x)在(-∞，+∞)连续，考察一阶线性常系数方程
y'+ay=f(x) (x∈(-∞，+∞))． (*)
(Ⅰ) 求通解的表达式；
(Ⅱ) 设a＞0，又f(x)有界且
y'+ay=f(x) (x∈(-∞，+∞))． (*)
(Ⅰ) 求通解的表达式；
(Ⅱ) 设a＞0，又f(x)有界且
【正确答案】[分析与求解] (Ⅰ) 将方程两边乘以
得
(yeax)'=eaxf(x)．
积分得 yeax=∫eaxf(x)dx+C．
于是得通解
或
其中C为
常数．通解即所有解．
(Ⅱ) 由通解表达式知
若
，则
，于是y(x)在(-∞，+∞)无界．
若
，即
，则相应的
即y(x)在(-∞，+∞)有界．
因此，(*)只有一个有界解(x∈(-∞，+∞))．
(Ⅲ) 若y(x)是(*)的以T为周期的解
y(x)必是有界的
以下只须再证：y(X)以T为周期．由
得(yeax)'=eaxf(x)．
积分得 yeax=∫eaxf(x)dx+C．
于是得通解
或
其中C为
常数．通解即所有解．(Ⅱ) 由通解表达式知
若
，则，于是y(x)在(-∞，+∞)无界．若
，即，则相应的即y(x)在(-∞，+∞)有界．
因此，(*)只有一个有界解(x∈(-∞，+∞))．
(Ⅲ) 若y(x)是(*)的以T为周期的解
y(x)必是有界的以下只须再证：y(X)以T为周期．由
【答案解析】