解答题
15.设f(x)连续，且∫0xtf(x＋t)dt＝lnx＋1，已知f(2)＝1/2，求积分12f(x)dx的值。
【正确答案】令u＝x＋t，则t＝u－x，dt＝du，根据换元积分法，
∫0xf(x＋t)dz
＝∫x2x(u－x)f(u)du
＝∫x2xuf(u)－x∫x2xf(u)du＝lnx＋1，
在等式∫x2xuf(u)du－x∫x2xf(u)du＝lnx＋1两端同时对x求导可得
2xf(2x)×2－xf(x)－∫x2xf(u)du－x[2f(2x)－f(x)]＝1/x，
移项合并得
∫x2xf(u)＝2xf(2x)－
。
在上式中，令x＝1，结合f(2)＝1/2，可得
∫12f(u)du＝2×
∫0xf(x＋t)dz
＝∫x2x(u－x)f(u)du
＝∫x2xuf(u)－x∫x2xf(u)du＝lnx＋1，
在等式∫x2xuf(u)du－x∫x2xf(u)du＝lnx＋1两端同时对x求导可得
2xf(2x)×2－xf(x)－∫x2xf(u)du－x[2f(2x)－f(x)]＝1/x，
移项合并得
∫x2xf(u)＝2xf(2x)－
。在上式中，令x＝1，结合f(2)＝1/2，可得
∫12f(u)du＝2×
【答案解析】