问答题
求下列幂级数的收敛域或收敛区间：
(Ⅲ)
a
n
x
n
的收敛半径R=3；(只求收敛区间)
(Ⅳ)
(Ⅲ)
a
n
x
n
的收敛半径R=3；(只求收敛区间)
(Ⅳ)
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)
有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式计算收敛半径．首先计算
所以R=1． 再考察两个端点，即x=±1时的敛散性．显然x=1，级数
是发散的．而x=一1时，[1*]单调递减，令f(x)=
＜1，ln(1+x)＞1，这就说明f'(x)＜0，f(x)单调递减．所以
满足莱布尼兹判别法的两个条件，该级数收敛． 这样，即得结论：
x
n—1
的收敛域为[一1，1)． (Ⅱ)这是缺项幂级数即幂级数的系数有无限多个为0(a
2n—1
=0，n=1，2，…)，所以不能直接用求收敛半径公式求收敛半径R．一般有两种方法： 它是函数项级数，可直接用根值判别法．由于
(Ⅲ)
na
n
(x一1)
n+1
=(x一1)
2
[
a
n
(x一1)
n
]'，由幂级数逐项求导保持收敛半径不变的特点知，
na
n
(x一1)
n+1
与
a
n
(x一1)
n
有相同的收敛半径R=3．因而其收敛区间为(一2，4)． (Ⅳ)令t=x一3，考察
a
n
t
n
，由题设t=一3时它收敛→收敛半径R≥3，又t=3时其发散→R≤3．因此R=3，
有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式计算收敛半径．首先计算
所以R=1． 再考察两个端点，即x=±1时的敛散性．显然x=1，级数
是发散的．而x=一1时，[1*]单调递减，令f(x)=
＜1，ln(1+x)＞1，这就说明f'(x)＜0，f(x)单调递减．所以
满足莱布尼兹判别法的两个条件，该级数收敛． 这样，即得结论：
x
n—1
的收敛域为[一1，1)． (Ⅱ)这是缺项幂级数即幂级数的系数有无限多个为0(a
2n—1
=0，n=1，2，…)，所以不能直接用求收敛半径公式求收敛半径R．一般有两种方法： 它是函数项级数，可直接用根值判别法．由于
(Ⅲ)
na
n
(x一1)
n+1
=(x一1)
2
[
a
n
(x一1)
n
]'，由幂级数逐项求导保持收敛半径不变的特点知，
na
n
(x一1)
n+1
与
a
n
(x一1)
n
有相同的收敛半径R=3．因而其收敛区间为(一2，4)． (Ⅳ)令t=x一3，考察
a
n
t
n
，由题设t=一3时它收敛→收敛半径R≥3，又t=3时其发散→R≤3．因此R=3，
【答案解析】