问答题
在球面x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式
【正确答案】正确答案：作拉格朗日函数 L(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x
2
+y
2
+z
2
一5R
2
)， 并令
由①，②，③式得
代入式④得可疑点
因xyz
2
在有界闭集x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x≥0，y≥0，z≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f=ln xyz
3
在x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
上也有最大值，而
唯一，故最大值为
又lnx+lny+3lnz≤
，即
故x
2
y
2
z
2
≤27R
10
． 令x
2
=a，y
2
=b，z
2
=c，又知x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
，则
由①，②，③式得
代入式④得可疑点
因xyz
2
在有界闭集x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x≥0，y≥0，z≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f=ln xyz
3
在x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
上也有最大值，而
唯一，故最大值为
又lnx+lny+3lnz≤
，即
故x
2
y
2
z
2
≤27R
10
． 令x
2
=a，y
2
=b，z
2
=c，又知x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
，则
【答案解析】