填空题
设f(x)连续，且∫
0
x
tf(2x－t)dt＝
- 1、
【正确答案】
1、正确答案：
【答案解析】解析：由∫
0
x
tf(2x－t)dt
(2x－u)f(u)(－du) ＝∫
x
2x
(2x—u)f(u)du＝2x∫
x
2x
f(u)du－∫
x
x
uf(u)du 得2x∫
x
2x
f(u)du－∫
x
2x
uf(u)du＝
arctanx
2
，等式两边对x求导得 2∫
x
2x
f(u)dx＋2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)＋xf(x)＝
，整理得 2∫
x
2x
f(u)du－xf(x)＝
， 取x＝1得2∫
1
2
f(u)－f(1)＝
，故∫
1
2
duf(x)dx＝
(2x－u)f(u)(－du) ＝∫
x
2x
(2x—u)f(u)du＝2x∫
x
2x
f(u)du－∫
x
x
uf(u)du 得2x∫
x
2x
f(u)du－∫
x
2x
uf(u)du＝
arctanx
2
，等式两边对x求导得 2∫
x
2x
f(u)dx＋2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)＋xf(x)＝
，整理得 2∫
x
2x
f(u)du－xf(x)＝
， 取x＝1得2∫
1
2
f(u)－f(1)＝
，故∫
1
2
duf(x)dx＝