【正确答案】正确答案：(Ⅰ)由Aα ₁ =α ₁ 得A ² α ₁ =Aα ₁ =α ₁ ，依次递推，则有A ³ α ₁ =α ₁ ，A ⁵ α ₁ =α ₁ ，故 Bα ₁ =(A ⁵ -4A ³ +E)α ₁ =A ⁵ α ₁ -4A ³ α ₁ +α ₁ =-2α ₁ ， 即α ₁ 是矩阵β的属于特征值-2的特征向量。 由关系式B=A ⁵ -4A ³ +E及A的三个特征值λ ₁ =1，λ ₂ =2，λ ₃ =-2得B的三个特征值为μ ₁ =-2，μ ₂ =1，μ ₃ =1。 设α ₁ ，α ₂ 为B的属于μ ₂ =μ ₃ =1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α ₁ 与α ₂ 、α ₃ 正交，即 。 因此α ₂ ，α ₃ 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 得其基础解系为 B的全部特征向量为k ₁ ，其中k ₁ ≠0，k ₂ ，k ₃ 不同时为零。 (Ⅱ)令P=(α ₁ ，α ₂ ，α ₃ )= ，于是